Піфагор

В VI столітті до нашої ери осередком грецької науки та мистецтва стала Іонія- група островів Егейського моря, які знаходяться біля берегів Малої Азії. Там у сім’ї золотих справ майстра Мнесарха народився син. За легендою, в Дельтах, куди приїхали Мнесарх з дружиною Парфенісою,- чи по справам, чи у весільну подорож оракул пророчив їм народження сина, який буде славитися віками своєю мудрістю, справами та красою. Бог Аполлон, вустами оракла, радить їм плити в Сірію. Пророцво збувається- в Сидоні Парфеніса народила хлопчика. І тоді за давньою традицією Парфеніса приймає ім’я Піфіада, на честь Аполлона Піфійського, а сина називає Піфагором, на честь пророцтва піфії.

Тригонометрична тотожність Піфагора

Для прямокутного трикутника із сторонами a, b та гіпотенузою c, запишемо тригонометричні визначення синуса і косинуса кута θ між стороною a та гіпотенузою:

звідси випливає що:

де в останньому кроці доведення застосовуємо теорему Піфагора. Цю залежність між синусом і косинусом іноді називають фундаментальною тригонометричною тотожністю Піфагора. В подібних трикутників, співвідношення між сторонами рівне незалежно від розмірів трикутника, а залежить тільки від кутів. Відповідно, на рисунку зображено трикутник з гіпотенузою, яка дорівнює одиниці, сторона протилежна до кута дорівнює sin θ і прилегла сторона — cos θ в одиницях гіпотенузи.

Піфагорові трійки

Піфагорові трійки — це три натуральні числа a, b, та c такі, що виконується рівність a² + b² = c². Іншими словами, Піфагорові трійки — це сторони прямокутного трикутника, якщо всі вони є цілочисельними. На мегалітичних спорудах в північній Європі є свідчення, що відомості про такі трійки були відомі до винайдення писемності. Такі трійки зазвичай записують у вигляді (a, b, c). Деякі найвідоміші приклади: (3, 4, 5) та (5, 12, 13).
Примітивними Піфагоровими числами називають такі a, b та c, які є взаємно простими (найбільший спільний дільник a, b та c дорівнює 1)
Нижче наведено перелік примітивних Піфагорових чисел менших за 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).

Доведення методом нескінченно малих

Наступне доведення за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX століття.
Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих приростів сторін с і a (використовуючи подібність трикутників):

Доведення методом нескінченно малих

Доведення Леонардо да Вінчі

Доведення Леонардо да Вінчі

Головні елементи доведення - симетрія і рух.

Доведення Евкліда

Креслення до доведення Евкліда

Ілюстрація до доведення Евкліда

Доведення методом площ. Доведення через рівнодоповненість

Рис.1

1. Розташуємо чотири рівних прямокутних трикутника так, як показано на малюнку 1.
2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90 , а розгорнутий кут - 180 .
3. Площа всієї фігури рівна, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a + b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і площі внутрішнього квадрата.

Що й було потрібно довести.