Теорема Піфагора: Доведення методом нескінченно малих

Наступне доведення за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX століття.
Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих приростів сторін с і a (використовуючи подібність трикутників):

Доведення методом нескінченно малих

$\ Frac {da} {dc} = \ frac {c} {a}$

Користуючись методом поділу змінних, знаходимо

$c \, dc = a \, da$

Більш загальний вираз для зміни гіпотенузи у разі збільшень обох катетів

$c \ dc = a \, da + b \, db$

Інтегруючи це рівняння і використовуючи початкові умови, отримуємо

c ² = a ² + b ² + constant.

$a = b = c = 0 \ Rightarrow \ mathrm {constant} = 0$

Таким чином, ми приходимо до бажаного відповіді

c ² = a ² + b ^2.

Як неважко бачити, квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційності між сторонами трикутника і збільшенням, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від приросту різних катетів.
Більш просте доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення (в даному випадку катет b ). Тоді для константи інтегрування отримаємо

$a = 0 \ Rightarrow c ^ 2 = b ^ 2 = \ mathrm {constant}.$

Теорема Піфагора

четвер, 13 листопада 2014 р.

Доведення методом нескінченно малих

Немає коментарів:

Дописати коментар

четвер, 13 листопада 2014 р.

Доведення методом нескінченно малих

Немає коментарів:

Дописати коментар

четвер, 13 листопада 2014 р.