Доведення Евкліда

Креслення до доведення Евкліда

Ілюстрація до доведення Евкліда

 Ідея доведення Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді й площі великого і двох малих квадратів рівні.
Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута З промінь s перпендикулярно гіпотенузі AB, він розтинає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутника - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників в точності дорівнюють площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.
Спробуємо довести, що площа квадрата дорівнює площі прямокутника DECA AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією ж висотою і підставою, що і даний прямокутник, дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини твори підстави на висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, в свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.
Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (так як площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивості). Рівність це очевидно: трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними. Саме - AB = AK, AD = AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90 проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох розглянутих трикутників співпадуть (зважаючи на те, що кут при вершині квадрата - 90 ).
Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічно.
Тим самим ми довели, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея даного докази додатково проілюстрована за допомогою анімації, розташованої вище.
Дане доказ також отримало назву " Піфагорові штани ".